Вакцинация - вопрос не только медицинский, но и математический. Ведь необходимо вычислить, сколько человек в популяции нужно вакцинировать, чтобы образовался коллективный иммунитет.
Первую математическую модель распространения эпидемий и влияния прививок создал Даниил Бернулли в XVIII веке. Сеголня эпидемиологи опираются на модели, сформулированные в 1927-м двумя шотландскими учеными - Андерсоном Маккендриком и Вильямом Кермаком. Оба они интересовались математикой, хотя Маккендрик был врачом, а Кермак - биохимиком. Последний, кстати, все математические вычисления проводил в памяти, потому что в результате несчастного случая полностью ослеп.
В упрощенном виде расчеты ученых базировались на следующих умозаключениях. Каждый больной до момента окончательного выздоровления (или смерти) заражает в среднем двоих здоровых человек. Число зараженных удваивается с каждым шагом: двое зараженных превращаются в четырех, четверо - в восьмерых, и так далее.
Математики говорят, что количество зараженных возрастает по экспоненте, где 2 - степень n, а n - число людей, инфицированных и распространяющий микробы.
Распространение болезни напоминает распространение "цепи святого Антония" или дублирование спама в Интернете. Уже на 20-м этапе количество зараженных людей превысит один миллион человек. Однако на самом деле этого не произойдет. Дело в том, что рано или поздно у очага заболевания окажутся только зараженные (или получившие иммунитет), так что заражать будет попросту некого. Эпидемия потеряет импульс.
Точное развитие эпидемии с течением времени можно записать в виде нелинейных дифференциальных уравнений (что и сделали Маккендрик и Кермак), однако решить их на бумаге невозможно - необходимо применять численные методы. Впрочем, и без помощи компьютера очевидно, что для прекращения эпидемии необходимо уменьшить количество новых заражений. Сделать это можно двумя способами: ограничив контакт больных людей со здоровыми (например, путем введения карантина) или быстро исцелив больных, чтобы у них не было времени заразить других.
Оба этих метода трудно реализовать, они дорогостоящие, да и лекарства, быстро ставящие человека на ноги, есть далеко не от всех болезней. Однако в случае со многими инфекционными заболеваниями есть еще один инструмент - вакцинация.
Прививки - самый дешевый и эффективный способ борьбы с инфекционными заболеваниями. Именно благодаря им в обществе большой процент людей, устойчивых к возбудителям многих болезней. К тому же, если кто-то и заразится, то круг тех, кто может стать следующими жертвами болезни, весьма невелик. А это значит, что распространения болезни удастся избежать и шансы остаться неинфицированными у людей, которые по каким-то причинам не вакцинированы, весьма высоки.
Так что прививки не только иммунизируют отдельных людей, но и защищают все население, что затрудняет появление эпидемии. Это называется групповым иммунитетом.
Все зависит от так называемого индекса воспроизводства. Для каждого заболевания и даже региона он может быть другим. Он означает среднее число человек, которых может инфицировать заболевший. В расчетах, приведенных в начале текста, этот коэффициент равнялся двум.
В каждом случае, когда индекс больше единицы, возникает угроза эпидемии. Чтобы не было экспоненциального увеличения заболеваемости среднее число людей, которых способен инфицировать заболевший, должно быть менее одного. В этом случае болезнь естественным образом утихнет.
Если мы имеем дело с заболеванием, для которого этот индекс равен двум, то cледует вакцинировать как минимум каждого второго человека, то есть более 50% популяции. Тогда среднее количество новых заражений, которые приходятся на одного человека, опустится ниже одного. Среднестатистический больной, который в обычных условиях заразил бы двоих человек, в среднем инфицирует менее одного, поскольку половина людей, с которыми он сталкивается, имеют иммунитет благодаря вакцинации. А значит, эпидемия не разразится.
Во время эпидемии холеры на Гаити в 2010-м индекс был меньшим, чем два, поэтому вакцинация даже небольшого количества жителей острова позволила взять эпидемическую ситуацию под контроль.
Однако для многих болезней этот показатель значительно выше, к примеру, в случае ветряной оспы он достигает 10. То есть один больной в среднем инфицирует 10 здоровых человек, а это означает, что для группового иммунитета нужно привить как минимум 9 из 10 человек, или более 90% популяции. Для кори индекс воспроизводства еще выше, поэтому порог безопасности составляет 95%. Для коклюша его оценивают в 92-94%, дифтерии и краснухи - в 83-86%, а свинки - 75-86%.
Поэтому эпидемиологи так обеспокоены снижением уровня вакцинации в Европе и, в частности, в Украине. Так, в этом году в нашей стране случилась вспышка кори: только за полгода 2018-го в Украине заболели корью 23 тыс человек - в шесть раз больше человек, чем в минувшем году (4767).
По материалам Gazeta Wyborcza
